Что такое «ошибка игрока»?

Всем привет! Недавно на Голосе натолкнулся на интересное утверждение, которое подвигло меня на написание этого поста.

Вначале три вопроса, от ответа на которые будет зависеть, стоит ли Вам читать дальше статью:

1. Вы стоите в казино за столом рулетки, и 10 раз подряд выпадает черное. При одиннадцатом броске выгоднее поставить на красное?
2. Вы подбрасываете монетку, как в игре «Орле/Решка». 5 раз подряд выпадает орел. При шестом броске вероятность выпадения Решки больше, чем у Орла?
3. Вы кидаете игральную кость. Три раза выпала тройка. Вероятность выпадения тройки на четвертом броске меньше, чем была на третьем?

Если Вы ответили утвердительно хотя бы на один из трех вопросов, то вы совершили «ошибку игрока», и Вам стоит прочитать статью:)

Ошибка игрока – когнитивное искажение, при котором люди не осознают, что вероятность желаемого исхода случайного события не зависит от предыдущих исходов.

Также этот феномен еще называется ошибочный вывод Монте-Карло.

18 августа 1913 года в казино Монте-Карло, Монако произошел интересный случай, описанный в книге Дэвида Дарлинга:

На столе рулетки черный цвет выпал 26 раз подряд. После того, как черное выпало 10 раз подряд, многие стали ставить на красное, как раз руководствуясь ошибочными суждениями. Хотя в каждом отдельном броске, шансы выпадения черного были, как и в предыдущих 18 из 37.

А вот вероятность такой серии исходов была приблизительно 7.3e-9 (1 к 136 823 184).

Благодаря такому стечению обстоятельств, казино смогло заработать несколько миллионов франков за ночь.

Пример с игрой в «Орел/Решку»

Каждый раз, когда мы подбрасываем монету вероятность выпадения орла равна вероятности выпадения решки = 0,5.

Представим, что мы подбрасываем монету 10 раз.
Девять раз выпал орел. Когда мы подбрасываем монетку в десятый раз, какова вероятность, что выпадет опять орел?
Хочется ответить, что меньше, чем у решки, т.к. орел уж слишком часто выпадал? Но, нет, вероятность выпадения орла на десятом броске, такая же, как и на всех предыдущих отдельно взятых бросках – 0,5. То есть, при 10 броске мы не должны ни коим образом опираться на предыдущие результаты.

А теперь следующий момент. Какова вероятность выпадения 10 раз подряд орла? 0,5^10 = 0.0009765625. И именно этот результат и мешает объективному рассуждению.

Интуиция подсказывает человеку, что после выпадения девяти орлов очень маленькая вероятность выпадения еще и десятого. Что «справедливость» должна восторжествовать.

Просто надо разграничивать вероятность исхода одного независимого события и вероятность серии исходов.

Нашел довольно интересную gif`ку, на которой показана симуляция подбрасывания монетки. Красная точка - выпадает орел, синяя – решка. Если посмотреть на нее подольше, то видно, что красные и синие точки наполняют столбик не систематически.

Т.е. нельзя сказать, что если монетка упала 5 раз подряд орлом вверх, то следующим обязательно будет решка. Хотя, на очень большой дистанции количество исходов будет довольно близко, т.е. орлов выпадет столько же, сколько и решек.

P.S. Вероятность выпадения ребра была умышленно упущена, для более простого восприятия. Также подразумевается, что монета настоящая, не поддельная и без дефектов.

Довольно интересный пример ошибки игрока в литературе:

В детективе Эдгара Алана По «Тайна Мари Роже» есть следующий фрагмент:

Например, обычного читателя почти невозможно убедить, что при игре в кости
двукратное выпадение шестерки делает почти невероятным выпадение ее в третий
раз и дает все основания поставить против этого любую сумму. Заурядный
интеллект не может этого воспринять, он не может усмотреть, каким образом
два броска, принадлежащие уже прошлому, могут повлиять на бросок,
существующий еще пока только в будущем. Возможность выпадения шестерки
кажется точно такой же, как и в любом случае - то есть зависящей только от
того, как именно будет брошена кость.

Писатель он хороший, а вот математик посредственный: )
Если мы бросаем кости и выпала два раза шестерка, то при третьем броске вероятность выпадения шестерки такая же, как и в первых двух = 1/6.

При играх в казино большинство людей, если угадали число и выиграли, меняют число, из-за того, что «ну не может же второй раз выпасть тоже самое».

Когда я был в казино. Пока ждал, когда начнется покерный турнир, я решил поиграть немного в рулетку.
В какой-то момент, я сделал ставку и отошел к бару заказать еды. В рулетке действует правило, что вашу ставку не убирают с игрового поля, только Вы можете ее оттуда убрать. Вернувшись, я обнаружил рядом со своим стеком фишек три стопки. Оказалось, что пока я ходил число 29, на которое я поставил, выпало три раза подряд. В этот момент на меня все смотрели c подозрением:)

---

Следует разграничивать зависимые и независимые случайные события. Пример: вероятность того, что вы пойдете в ближайшее время есть, не зависит от того какого цвета носки вы сегодня одели – эти два события независимы.

В ящике два белых и два черных шара, по очереди достаются два шара. Вероятность тот, что второй шар будет белым, будет зависеть от цвета первого. Первое и второе извлечение из ящика – зависимые события.

Во всех примерах были взяты идеальные случаи. То есть, честное казино, не поддельная монетка, правильная игральная кость. Чтобы события были действительно случайными, а не управляемыми людьми.

Важно понимать, что монета не имеет памяти, шарик рулетки тоже, и даже игральная кость. Каждый новый бросок/вращение/подкидывание создает новое случайное событие, которое никак не связано с предыдущими исходами.

Надеюсь эта статья будет вам и полезной, и интересной!

Картинка с лицензией CC0. Gif тоже с лицензией CC0.

С уважением, @veritas