Интересные задачи из ЕГЭ по математике 2017

Это варианты реальных задач, которые решали выпускники в этом году.

ЕГЭ профильный, все задания из Части 2 (то есть с самой высокой сложностью на экзамене).

Задание №16

Дана трапеция с диагоналями равными 20 и 21. Сумма оснований равна 29.

а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.

Решение. а) Дана трапеция ABCD, AC=21, BD=20, сумма оснований AD+BC=29. Проведем из точки C прямую, параллельную BD до пересечения с прямой AD в точке E. Рассмотрим треугольник ACE. В нем AC=21, CE=BD=20, а сторона AE=29, поскольку DE=BC, AE=AD+DE=AD+BC=29. 29^2=20^2+21^2, и по теореме обратной теореме Пифагора треугольник ACE - прямоугольный. Углы ACE и AOD равны как соответственные. Поэтому угол AOD между диагоналями прямой и они перпендикулярны.

б) Проведем высоту CH в прямоугольном треугольнике ACE. Она равна высоте трапеции, т.к. BC параллельна AE. Высота CH считается очень просто: отношение произведения длин катетов к гипотенузе. AC*CE/AE=20*21/29. Получаем ответ - 420/29 - не самое красивое число. Но, наверное, так задумано.

Задание №17

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Если ежегодно выплачивать по 77 760 рублей, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 131 760 рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.

Решение. Пусть k - первоначальная сумма кредита. В январе долг умножается на 1+r/100, для удобства обозначим t=1+r/100.

По условию, при ежегодных выплатах 77760 рублей кредит будет погашен за 4 года. Сумма долга в январе каждого года:

1-ый  k*t

2-ой  (k*t-77760)*t

3-ий  ((k*t-77760)*t-77760)*t

4-ый  (((k*t-77760)*t-77760)*t-77760)*t

Далее с февраля по июнь снова выплатили 77760 и долг был погашен. Поэтому (((k*t-77760)*t-77760)*t-77760)*t-77760=0.

(((k*t-77760)*t-77760)*t-77760)*t=77760.

По аналогии рассматриваем второй случай с выплатами в размере 131760 рублей. Сумма долга в январе каждого года:

1-ый  k*t

2-ой  (k*t-131760)*t

Далее выплатили остаток долга - 131760 рублей. (k*t-131760)*t=131760.

Можно выразить k через t: k=1/t*(131760/t+131760) и подставить это в уравнение (((k*t-77760)*t-77760)*t-77760)*t=77760.

После череды сокращений и перестановок получается (54000t-77760)(t+1)=0. Исходя из условия t больше 1, значит t+1 не может быть равным 0.

54000*t-77760=0

t=77760/54000

t=1,44

Вспоминаем, что t=1+r/100. Каждый январь долг увеличивается на 44%, ответ: r=44.

Задание №19

Две девочки делают селфи фотографии. Наташа P фотографий, Маша К фотографий. И каждый день каждая делает на одну фотографию больше. В конце Наташа сделала на 1001 фотографию больше, чем Маша.

а) Могло ли это произойти за 7 дней?

б) Могло ли это произойти за 8 дней?

в) Максимальное количество фотографий Наташи, если Маша в последний день сделала меньше 40 фотографий.

Решение. Если я правильно понимаю условие, в первый день Наташа и Маша сделали P и K фотографий соответственно, во второй день P+1 и K+1, в третий - P+2 и K+2 и т.д.

За n дней Наташа сделала P*n+n*(n-1)/2, а Маша K*n+n*(n-1)/2 фотографий (по формуле суммы членов арифметической прогрессии).

В условии сказано, что Наташа сделала на 1001 фотографию больше, чем Маша, значит (P*n+n*(n-1)/2)-(K*n+n*(n-1)/2)=1001. Убираем одинаковые одночлены, получается P*n-K*n=1001 или n(P-K)=1001.

а) Надо опираться на уже выведенную формулу n(P-K)=1001, где и число дней n, и разность P-K являются натуральными числами. 1001 делится без остатка на 7, поэтому n=7 подходит. В этом случае P-K=1001/7=143. Ответ: да, это могло произойти за 7 дней.

б) 1001 на 8 не делится, поэтому ответ: нет.

в) В последний день Маша сделала K+(n-1) фотографий, значит K+(n-1)<40 и n<=40. Так как  n(P-K)=1001, число дней n должно быть делителем 1001. Всего у 1001 есть четыре делителя, удовлетворяющих условию <=40, - это 1,7,11,13. Путем подбора можно найти максимальное значение P*n+n*(n-1)/2. При этом n=1  можно отсечь сразу, потому что первый день не может быть последним.

n=7: P-K=1001/7=143, минимальное возможное значение K=0, максимально возможное значение P=143 P*n+n*(n-1)/2=143*7+7*6/2=1022

n=11: P-K=1001/11=91, минимальное возможное значение K=0, максимально возможное значение P=91 P*n+n*(n-1)/2=91*11+11*10/2=1056

n=13: P-K=1001/13=77,минимальное возможное значение K=0, максимально возможное значение P=77 P*n+n*(n-1)/2=77*13+13*12/2=1079

В итоге максимальное количество фотографий Наташи - 1079. Это решение довольно-таки топорное и не факт, что верное. Но что есть, то есть.😄

 На мой взгляд, задачи не очень сложные. Здесь нет ни стереометрии, ни начал матанализа, ни заигрываний с олимпиадной математикой. Достаточно базовой подготовки по учебникам, чтобы с ними справиться. Или нет?